Problema Rodadura

[JManuel0032]

Alguien me podría resolver este problema. Gracias
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[sleepylavoisier]

Hola JManuel0032, para resolver este problema necesitamos saber el punto de aplicación de F y la dirección en la que se aplica. Suponiendo que F se aplica horizontalmente, creo que el problema no tiene mayor dificultad si entendemos:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solid ... 20deslizar

Las ecuaciones a las que se llega en el enlace anterior son

Fr = F/3 · (1 – 2·r/R)

Para |Fr| ≤ μ·N rueda sin deslizar, siendo μ el coeficiente de rozamiento estático.
En ese caso la aceleración del centro de masas vale:
ac = 2·F·(1 + r/R)/(3·M)
Si asumo que F se aplica tangencialmente en la periferia del cilindro tenemos r=R y entonces
Fr = F/3 · (1 – 2·R/R) = – F/3
El signo menos indica que si el cilindro se mueve de izquierda a derecha con F también aplicada horizontalmente de izquierda a derecha, la fuerza de rozamiento, Fr, aplicada en el punto de contacto con el suelo, P (realmente sería una línea de contacto), sobre el cilindro también estaría dirigida de izquierda a derecha.

Teniendo en cuenta que F = t³/2 N (supongo que la fórmula funciona con t en segundos) llegamos a que la rodadura con deslizamiento comienza a un t:
F/3 = μ·N ⇒ t³/(2·3) = μ·M·g
t = ³√(6·μ·M·g) = ³√(6·0,3·30·9,8) = 8,088598499 s

a) t = 8,1 s

La aceleración del c.m. cuando empieza el deslizamiento será:
ac = 2·F·(1 + R/R)/(3·M) = 2·F·(1 + 1)/(3·M) = 4·F/(3·M)
ac = 4·(t³/2)/(3·M) = 4·t³/(6·M) = 4·t³/(6·M) = 4·8,088598499³/(6·30)

b) ac = 11,76 m/s²

Para t = 4 s ≤ 8,1 s ⇒ el cilindro está rodando sin deslizar:
ac = 4·t³/(6·M) = 4·4³/(6·30) = 1,422222222 m/s²
α = ac/R = 1,422222222 / 0,6 = 2,37037037 rad/s²
c) ac = 1,42 m/s²
α = 2,37 rad/s²

Saludos.

[Esther Extremadura]

Buenas tardes,
subo mi resolución considerando que la fuerza se aplique en la parte superior del cilindro, a ver si alguien lo puede revisar, sobre todo no se si el momento de inercia estaría así correctamente calculado, y si alfa=a/R es correcto.
Saludos!

[sleepylavoisier]

Buenas noches, Esther Extremadura.
Interesante tu pregunta. Sí se puede calcular así, de hecho se puede comprobar que se obtiene el mismo resultado que por el procedimiento que usé yo líneas arriba.

Para justificar lo que acabo de decir necesitamos demostrar las ecuaciones recuadradas en la siguiente web:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solid ... teoria.htm

En mi procedimiento usé la última ecuación recuadrada de la página que te he enlazado:
Mcm = dLcm/dt que está referida al centro de masas (cm).

Supongo que F va en el sentido del movimiento del cm del cilindro (de izquierda a derecha) y que la de rozamiento, Fr, va en sentido contrario de derecha a izquierda (supongo que se opone al movimiento del cilindro, luego, su signo, me dirá si estoy en lo cierto o no).
La ecuación vectorial puede escribirse escalarmente porque se puede demostrar que tanto el primer miembro como el segundo tienen la misma dirección (perpendicular al papel):
Mcm = dLcm/dt
Y se ve fácilmente que Mcm = │Mcm│= Σ│rxFext│= R·F·sen 90º + R·Fr·sen 90º = R·F + R·Fr
Y que, en nuestro caso del cilindro, como el eje de rotación que pasa por el cm es un eje principal de inercia:
Lcm = Icm·ω
Como el momento de inercia respecto de ese eje es Ic = ½ · m·R² y ω es la velocidad angular de rotación alrededor de ese eje que pasa por el cm, tenemos que:
dLcm/dt = Icm · dω/dt =½ · m·R² · α
donde α = dω/dt es la aceleración angular alrededor del eje de rotación que pasa por el centro de masa del cilindro.
Entonces, con mi método, escribimos: R·F + R·Fr = ½ · m·R² · α ⇒ F + Fr = ½ · m·R·α
Como rueda sin deslizar, la aceleración del cm vale: ac = R·α por lo que
F + Fr = ½ · m·ac
De la segunda de Sir Isaac:
F-Fr = m·ac
Sumando estas dos últimas ecuaciones se llega a:
2·F = ½ · m·ac + m·ac = (3/2)·m·ac ⇒ ac = 4·F/(3·m)
Sustituyendo m·ac = 4·F/3 en la 2ª ley de Newton:
F-Fr = m·ac = 4·F/3 ⇒ Fr = F - 4·F/3 ⇒
⇒ Fr = - F/3 (el signo menos indica que Fr lleva sentido contrario al supuesto, es decir, va de izquierda a derecha).

En tu resolución, la ecuación que has utilizado (y que también aparece demostrada en la página que te he enlazado) es:
M = dL/dt
En este caso M y L deben estar referidos al mismo punto que en nuestro caso será el que llamas O en tu documento, un punto en reposo respecto al sistema de referencia inercial, de forma que, ¡ojo!, el cilindro seguirá rodando pero O no le acompaña en su movimiento porque el punto O queda quieto y sujeto en el suelo, siempre en el mismo sitio. Inicialmente O, según lo dibujaste, coincide con el punto de contacto del cilindro con el suelo, pero un instante después, O sigue en el mismo sitio, estático, sin moverse, mientras que el cilindro está más adelante porque ha rodado sin deslizar.
Por lo mismo que antes, la ecuación se puede escribir escalarmente:
M = dL/dt
M respecto de O, vale:
M =│M│=│rXF│= r·F·senφ (habría que sumar el momento de Fr respecto de O pero es nulo porque r y Fr son paralelos en todo momento y valdría r·Fr·sen 0º = r·Fr·0 = 0)
Donde r es el vector de posición del punto de aplicación de F respecto de O, notemos que r va aumentando con el tiempo y siempre podremos construir un triángulo equilátero en el que
r·senφ = 2·R siendo φ el ángulo que forman r y F en cada instante. Sustituyendo en la penúltima ecuación:
M = 2·R·F

Además hay otra ecuación recuadrada y demostrada en la web que te he enlazado:
L = Lcm + m·rcm x Vcm
Donde rcm es el vector de posición del cm respecto de O (rcm va aumentando y alargándose con el tiempo) y Vcm es la velocidad del centro de masas que si rueda sin deslizar, vale en módulo:
Vcm = ω·R
La ecuación, en nuestro problema particular, se puede escribir escalarmente como las anteriores, teniendo en cuenta que, como hemos visto:
Lcm = Icm · ω = ½ · m·R² · ω
y también que │m·rcm x Vcm│= m·rcm·Vcm·senθ
Siendo θ el ángulo que van formando en cada instante rcm y Vcm. Se puede dibujar en cada instante un triángulo equilátero en el que R = rcm·senθ
De manera que │m·rcm x Vcm│= m·R·Vcm

Sumando sendas contribuciones a L:
L = ½ · m·R² · ω + m·R·Vcm
Teniendo en cuenta que rueda sin deslizar Vcm = ω·R
L = ½ · m·R² · ω + m·R· ω·R
L = ½ · m·R² · ω + m·R²·ω = (3/2)·m·R²·ω
Así, si derivamos L respecto de t:
dL/dt = (3/2)·m·R² · dω/dt = (3/2)·m·R²·α
Ahora igualamos las expresiones deducidas:
M = dL/dt ⇒ 2·R·F = (3/2)·m·R²·α
Despejando R·α que coincide con la aceleración del centro de masas, ac, cuando rueda sin deslizar:
ac = R·α = 4·F/(3·m)
que coincide con la ecuación a la que llegué con mi método expuesto líneas arriba en mi anterior entrada.

A continuación, en tu caso, aplicarías la 2ª ley de Newton como:
F + Fr = m·ac = 4·F/3 ⇒ Fr = 4·F/3 – F ⇒
⇒ Fr = F/3 que coincide con mi resultado salvo en el signo porque tú has supuesto sentido correcto para Fr en tu dibujo y yo no.

En resumidas cuentas, el método que utilizas en tu documento es completamente equivalente al utilizado usando el momento de las fuerzas externas y el momento cinético respecto al centro de masas, pero ojo porque parece como si en tu documento O es siempre el punto de contacto (realmente sería una línea de contacto) del cilindro con el suelo y usas luego como una especie de teorema de Steiner para un momento de inercia hipotético que valdría (3/2)·m·R² y esto no es así, O es un punto fijo pegado siempre al suelo (punto respecto del cual hay que calcular M y L) y el momento de inercia del cilindro sigue siendo ½ · m·R² lo que ocurre es que, como hemos visto, debido a las ecuaciones usadas, hay que sumarle m·R² pero no por ningún tipo de rotación extraña alrededor de otro eje que pasa por O paralelamente al que pasa por el cm.

Un saludo.

[sleepylavoisier]

Errata: donde he puesto "triángulo equilátero" me refería a "triángulo rectángulo".

[JManuel0032]

Buenos días. Muchas gracias por darme la solución del problema. Como bien dices, nos haría falta saber dónde aplican la fuerza. El problema lo encontré tal cual lo puse en el foro.
Muchas gracias por dedicarle tú tiempo, me has aclarado bastante este tipo de problemas.
Un saludo