Buenas tardes,
Estoy estudiando el tema 6 de Física para las oposiciones y haciendo la demostración de la determinación de las órbitas de los planetas llego a esta expresión, que es un producto escalar de productos vectoriales, alguien me la podría desarrollar para que la entienda??
Muchísimas gracias de antemano,
Saludos
Productos vectoriales
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- #7 Gadget
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Re: Productos vectoriales
Hola,
Utilizando las definiciones de productos escalar y vectorial:
El producto vectorial de dos vectores es un vector c perpendicular a los otros dos.
a x b = c
(a x b)·(a x b) = c·c
c·c =|c|·|c|·cosβ =|c|^2
(a x b)·(a x b) = |a x b|^2 = (|a|·|b|·senα)^2 = |a|^2 · |a|^2 · (senα)^2
En nuestro caso particular L y v son vectores perpendiculares, senα = 1, y queda:
(L x v)·(L x v) = L^2·v^2
Utilizando las definiciones de productos escalar y vectorial:
El producto vectorial de dos vectores es un vector c perpendicular a los otros dos.
a x b = c
(a x b)·(a x b) = c·c
c·c =|c|·|c|·cosβ =|c|^2
(a x b)·(a x b) = |a x b|^2 = (|a|·|b|·senα)^2 = |a|^2 · |a|^2 · (senα)^2
En nuestro caso particular L y v son vectores perpendiculares, senα = 1, y queda:
(L x v)·(L x v) = L^2·v^2
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- #10 Goku
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Re: Productos vectoriales
Hola.
Coincido completamente con la explicación que nos ha proporcionado koler (muchas gracias), si bien hay una errata en tercera línea por abajo, donde pone
|a|^2 · |a|^2 · (senα)^2
obviamente debería poner
|a|^2 · |b|^2 · (senα)^2
Ya que ando por aquí comparto mi visión del tema.
Por definición de momento cinético o angular:
L = m·r×v
Por definición de producto vectorial:
L ┴ plano que contiene r y v ⇒ L ┴ v
Entonces el ángulo entre L y v:
θ = 90º ⇒ senθ = sen90º = 1 ; cosθ = cos90º = 0
Por lo tanto,
|v x L| = |v|·|L|·sen90º = |v|·|L|· 1 = |v|·|L| = v·L
El vector (v x L) consigo mismo forma un ángulo de 0º.
De manera que, con la definición de producto escalar, tenemos:
(v x L)•(v x L) = |v x L|·|v x L|·cos0º = v·L·v·L·1 = v²·L²
Y además:
v • L = |v|·|L|·cos90º = v·L·0 = 0
Así que: (v • L)² = 0² = 0
Por consiguiente, concluimos con lo que nos interesa:
(v x L)•(v x L) = v²·L² = v²·L² - 0 = v²·L² - 0² = v²·L² - (v • L)²
Que coincide con el comentario de koler y con la ecuación que Esther Extremadura quiere demostrar:
(v x L)•(v x L) = v²·L² - (v • L)² = v²·L²
Saludos.
Coincido completamente con la explicación que nos ha proporcionado koler (muchas gracias), si bien hay una errata en tercera línea por abajo, donde pone
|a|^2 · |a|^2 · (senα)^2
obviamente debería poner
|a|^2 · |b|^2 · (senα)^2
Ya que ando por aquí comparto mi visión del tema.
Por definición de momento cinético o angular:
L = m·r×v
Por definición de producto vectorial:
L ┴ plano que contiene r y v ⇒ L ┴ v
Entonces el ángulo entre L y v:
θ = 90º ⇒ senθ = sen90º = 1 ; cosθ = cos90º = 0
Por lo tanto,
|v x L| = |v|·|L|·sen90º = |v|·|L|· 1 = |v|·|L| = v·L
El vector (v x L) consigo mismo forma un ángulo de 0º.
De manera que, con la definición de producto escalar, tenemos:
(v x L)•(v x L) = |v x L|·|v x L|·cos0º = v·L·v·L·1 = v²·L²
Y además:
v • L = |v|·|L|·cos90º = v·L·0 = 0
Así que: (v • L)² = 0² = 0
Por consiguiente, concluimos con lo que nos interesa:
(v x L)•(v x L) = v²·L² = v²·L² - 0 = v²·L² - 0² = v²·L² - (v • L)²
Que coincide con el comentario de koler y con la ecuación que Esther Extremadura quiere demostrar:
(v x L)•(v x L) = v²·L² - (v • L)² = v²·L²
Saludos.